引

發現人文與數學之美

數學枯燥嗎？

我們應該換個角度看這個問題。

在某種程度上講，數學與詩歌有相似性：簡潔、凝練、抽象…...

數學與人文，并非完全割離。

在數學身上，我們發現與詩歌相似的“美”。

以一首人文詩詞為例——大漠孤煙直，長河落日圓。

這首詩描繪了雄闊、壯美的大漠圖景。

從幾何學角度上看，“大漠”可視為平面，“孤煙”垂直于地面的直線（圖1）。

第二句將橫臥長河視為一條直線，下沉落日被視為一個圓，“長河落日圓”便是一個圓切于一條直線（如圖2）。

兩圖對照，涇渭分明，簡潔明了，剛柔相濟。

自然的景致都會在歷史波濤中湮沒，

江渚上的白發漁樵都會成過眼煙云，

只有抽象出來的美感才會永垂不朽！

“大漠孤煙直，長河落日圓”正是幾何學的高度凝練，人文與數學的美在這里相聚，才擁有了震撼千古的藝術魅力！

很多人因為應試原因忽略了數學之美，這是一種遺憾。

為了彌補這種遺憾，量子學派攜手43位數理領域教授、專家出版《公式之美》，每一個公式都有一幅數學畫，讓更多人領略數理之美。

1

?1+1=2?

發現者? ？

發現時間??？

公式圖解

插圖的中心位置，古埃及人從尼羅河捕捉了三條魚，第三條魚的處理卻成了最大難題。

古埃及人如何處理第三條魚已經無從考究，但祖先們在有了“數量”概念后意識到1+1=2，從此打開數學的大門。

看似簡單卻是數學最原始的種子，讓人類具備了超越其它種族的高維能力。

在歷史波濤翻滾的長河中，這顆數學的種子開始生根發芽……

1+1=2，成為人類文明的基石之一。

2

畢達哥拉斯定理?

Pythagorean theorem

發現者? 畢達哥拉斯、商高

發現時間??大約公元前500年

公式圖解

插圖中一只超現實的眼睛正在凝視，在它下方的兩個小正方形注滿水后，它們相加的注水量與它們垂直兩邊所構成的直角三角形的大正方形的注水量相等，形象得出勾股定理的推導。

在它之下面是“畢達哥拉斯樹”，他證明對一切直角三角形來說，a2+b2=c2。插畫右上角的位置是商周時期的甲骨文，商周時貴公子商高也曾提出“勾三股四弦五”。

a2+b2=c2，是人類歷史上第一次將“數”與“形”相結合。

3

費馬大定理?

Fermat's last theorem

發現者? 費馬

發現時間? 1637年

公式圖解

插畫中央是時間指針，轉動著跨越358年的時間圓盤。

圓盤左側是“業余數學家之王”費馬，他提出的“費馬大定理”開啟了這個跨越358年的時間圓盤，留下了“對此我已經找到了一個絕妙的證明方法，我寫不下，就不寫了”的世紀名言。

許多數學家在解密過程中沒能解開“費馬大定理”，卻創立了許多新的數學理論，故“費馬大定理”也被稱為“會下金蛋的鵝”。

圓盤右側坐在破碎金蛋上的是懷爾斯，358年智力接力賽由他終結，但“金蛋傳奇”仍在繼續，橢圓曲線便是其一，它在非對稱加密領域大放異彩，被密碼學朋克們應用于比特幣，使比特幣成為數學上牢不可破的“數學黃金”。

4

微積分?

Calculus

發現者? 牛頓、萊布尼茨

發現時間? 1684年

公式圖解

插圖中，一只短腿烏龜奮力爬行，海神之子“阿喀琉斯”正打算追上它。

根據“芝諾悖論”，阿喀琉斯永遠都無法追上小烏龜。

插圖左側拋出蘋果的是牛頓，與之相對的則是拋出“二進制”的萊布尼茨。在蘋果與“二進制”之間，則是著名的微積分公式。

牛頓與萊布尼茨都被數學界視為是微積分的發現者，兩人曾因誰先發現微積分有過一場浩大持久的爭奪戰，但在溘然長逝之后，兩人又因牛頓-萊布尼茨公式牢牢綁在一起。

微積分的出現，促成了后來一場場科學和技術領域的革命。

5

萬有引力?

Law of universal gravitation

發現者? 牛頓

發現時間??1687年

公式圖解

地球與一顆蘋果牢牢地捆綁在一起，而將兩者進行連接的正是牛頓。

牛頓推出萬有引力定律，而引力一舉成為四種作用力的基本力之一。

牛頓的萬有引力定律一錘定音，他告訴人類，支配自然和宇宙的萬物法則其實很簡單。

在19世紀末，萬有引力定律暴露出了它的局限性，有著無法觸及的灰暗地帶。

但萬有引力如同畫面中從蘋果樹到天空逐漸延伸的裂口，它劈開了愚昧混沌的黑暗，將光明帶給人類。牛頓如同盜來火種的普羅米修斯，他賦予人類星火，將由人類燎原。

6

歐拉公式?

Euler's formula

發現者? 歐拉

發現時間? 1748年

公式圖解

歐拉穿過哥尼斯堡七橋，這七座別致的橋橫跨普雷格爾河將四個區域連接起來，在所有人都嘗試著不重復走遍七橋回到出發點失敗時，右眼剛失明的歐拉將其巧化成幾何問題，證明路線根本不存在，由此開創了數學的新分支——圖論與幾何拓撲。

歐拉公式便是其中一個表現，e^πi+1=0非常完美。

有著“上帝公式”之稱的歐拉公式提出后有著深遠的影響，不僅如此，歐拉一生孜孜不倦，他所留下的科學遺產仿若閃爍群星，即使歐拉長眠，但群星永不熄滅。

7

伽羅瓦理論?

Galois theory

發現者? 伽羅瓦

發現時間??1832年

公式圖解

右側男子開槍射擊，子彈穿過五次方程，左側男子應聲倒下。

上方則是一名陷入掙扎的女子，顯然兩者正為之爭奪。

倒下的男子是僅有21歲的伽羅瓦，死于與一段熱戀相關的決斗中。在這場自知必死的決斗前夜，伽羅瓦奮筆疾書為世人留下了三十二頁紙的論文。在1843年時，他留下的成果被肯定并公布于眾，至此五次方程的神秘面紗也被揭開。

伽羅瓦理論所引入的“群”“域”等概念，成功的推開了現代群論這座輝煌宮殿的大門，拉開了現代數學的帷幕。

8

黎曼猜想?

Riemann hypothesis

發現者? 黎曼

發現時間? 1859年

公式圖解

黎曼踏上通往繁復奇妙的數學大廈階梯，他來自更高維的世界，手拿一把鑰匙，走向神秘之門。

這座數學大廈是由以黎曼提出的黎曼猜想為基礎的一千多余數學命題所建立，黎曼手握著的精美鑰匙，可以輕易打開這扇神秘大門。

但這座建立在黎曼猜想上的大廈并不是牢不可破，如果黎曼猜想被證實，大廈將永恒存在，反之，大廈將在一瞬間坍塌毀滅。

9

熵增定律?

Second law of thermodynamics

發現者? 克勞修斯

發現時間? 1854年

公式圖解

插圖里充滿著死亡、頹廢的氣息，揮散不去。

這也是“熵增定律”所想表達：熵增，永不可逆。

圖中膨脹死尸環抱著的，恰恰是我們所處的宇宙。

燈亮的那一刻，宇宙大爆炸出現。從大爆炸的那一刻起，宇宙就成了一個無人打掃的陳年老屋，日積月累后灰塵滿地，這就是熵增。

熵增定律讓人類絕望。我們以為自己已經逐漸成為上帝，但面對熵增，卻依舊像一個光腳的孩子，手足無措，面對宇宙最終走向寂滅，根本無能為力。

宇宙終將走向死亡，這是它的必然宿命。

10

麥克斯韋方程組?

Maxwell's equations

發現者? 麥克斯韋

發現時間? 1865年

公式圖解

一個電磁場呈現在人眼前，但更像是一束源源不斷照射進宇宙的光。

關于電與磁的關系，前人踏過無數荊棘，才使得道路稍顯平坦。

庫倫、奧斯特、安培、法拉第…沒能找到一種完美統一的描述。

最終麥克斯韋神奇地完成這一壯舉——用他特有的數學語言，總結前輩們的各大定律，建立了電磁學微分方程組，將電場與磁場完美地融合在一起，統一了整個電磁場。

自此之后，宇宙間的任何電磁現象，皆可由此方程組解釋。

上帝說要有光，便有了麥克斯韋方程組。

11

質能方程?

mass-energy equivalence

發現者? 愛因斯坦

發現時間? 1905年

公式圖解

清晰可見兩朵騰空而上的蘑菇云，那是二戰美國投放在日本長崎和廣島的兩顆原子彈。

爆炸之后，盡是廢墟。插圖左下側是一座被摧毀后的城市，破裂、殘缺，無人幸存。

當蘑菇云騰空之后，死神靜靜地注視一切，在她眼中，一切都如此平常、安靜。

在愛因斯坦提出質能方程前，人們認為質與能是兩條互不干擾的平行線。但當愛因斯坦寫下質能方程后，能量與質量才合為一個整體——質能。其看似簡潔，卻能夠描寫一個小到原子，大到整個宇宙的世界。一粒塵埃，也蘊含著人類無法想象的巨大能量。

12

薛定諤方程?

Schr?dinger equation

發現者? 薛定諤

發現時間? 1926年

公式圖解

右側是我們所處的宏觀世界，左側的氫原子模型是微觀世界。

“薛定諤的貓”將兩者相連，此貓正從宏觀世界走向微觀世界。

薛定諤創立了波函數理論，但此方程卻成了哥本哈根學派的武器，直指愛因斯坦。

為論證量子力學的荒謬，薛定諤提出“薛定諤的貓”思想實驗，成為20世紀物理學的最大爭議。

這只不屬于薛定諤的貓，行走于生死之間，穿梭于平行世界，它的行蹤軌跡神秘，不可捉摸。

13

狄拉克方程?

Dirac equation

發現者? 狄拉克

發現時間?1928年

公式圖解

左側是一座巴別塔，處在光明之中，即我們所在的物質世界。

右側一片黑暗，猶如一片黑海漣漪，意指深不可測的反物質世界。

黑暗世界反物質的出現，使得物質世界的巴別塔搖搖欲墜。

而中間連接的是一條將兩個世界分離開來的通天之路，這條路也許就能進入到反物質世界中，甚至找到進入暗物質世界的入口。

狄拉克方程統一了狹義相對論和量子力學，并得出一個重大結論：電子可以有正電荷，開辟出“新大陸”——游蕩在宇宙中的“反物質”。

反物質與物質似雙胞胎，卻又水火不容，兩者一旦相遇即湮滅。它們如同這幅畫的左右兩邊，一邊光明，一邊黑暗，但誰也不知道，黑暗一邊的反物質世界背后，究竟隱藏著什么。

14

楊-米爾斯規范場論?

Yang-Mills theory

發現者? 楊振寧、米爾斯

發現時間? 1954年

公式圖解

在楊-米爾斯方程的構圖中，位處中間的“神”，正將“四力”合攏起來。

左側“萬有引力”，右側“電荷力”，上方“強核力”，下方“弱核力”。

愛因斯坦曾經希望能借助一個公式將宇宙“大一統”，但直到生命最后一刻都沒能實現。這個重擔，落到了規范場論身上。

楊-米爾斯方程站上前人肩膀，后人推導修正，成為規范場論的中流砥柱。

隨著希格斯粒子被發現，規范場論統一了自然界三種力，朝著大一統理論逼近。

一旦人類實現“四力統一”，可能真正成神——任意地組合與改變粒子，制造出前所未有的物質形態，左右空間維度數，最終成為宇宙的主宰。

15

香農公式?

Shannon theory

發現者? 香農

發現時間? 1948年

公式圖解

香農如同雜技成員，騎著獨輪車，熟練拋接四個球，在“彭羅斯階梯”上雜耍。

他從“烽火狼煙”城堡出發，逐步邁向“網絡通信”。

香農公式，不僅帶人類從工業時代進入信息時代，也讓人類在遠距離傳輸信息通信道路上越走越快。

香農寫下香農公式后，給人們留下了一個極限，此后人們便在其中競相追逐，1G、2G、3G、4G、5G…通信方式的變更，讓人們的生活也瞬息萬變。

這也是為什么在構圖中將香農置放在“彭羅斯階梯”上表演的原因——在香農公式中追逐極限，永遠都不會有盡頭可言。

16

B-S方程?

Black-Scholes equation

發現者? 布萊克、斯科爾斯

發現時間? 20世紀70年代

公式圖解

在B-S方程的構圖中，中間是搖搖欲墜的金融大廈。

B-S方程原本是華爾街的中流砥柱，但大廈將傾，卻無人能扶。

B-S方程曾經被稱為是最“貴”的方程，價值高達一萬億。但“人性”作祟，這個公式并非完美，2008年的金融危機則成為壓垮大廈的最后一根稻草。

由此，“牛頭”倒在搖搖欲墜的金融大廈之下，牛市已然消失，人們唯一能做的，只有踏上那條曾經帶來無數財富的B-S方程，然后義無反顧地往下跳去。

B-S方程本身沒有問題，而是總有人濫用它。數學可以計算經濟運行的軌跡，卻沒辦法計算人性的瘋狂。

17

彈道方程?

Trajectory equation

發現者? 英構司

發現時間??1881年

公式圖解

中心部分如同黑洞般的槍口直指人心，左側青年持槍射擊，但可能正是因為將槍口抬高3CM，子彈從右側的少女旁擦肩而過。

曾經守衛柏林墻的衛兵射擊，導致跨越柏林墻的青年死亡。圖中的青年將槍口抬高了3CM，便為右側少女挽回一條生命。

這是彈道方程的魅力。

你必須執行命令開槍，但你應該擁有將槍口抬高3CM的良知。

18

胡克定律?

Hooke's law

發現者??胡克

發現時間? 1678年

公式圖解

卓別林在《摩登時代》擰著巨大齒輪上的螺帽，每個人都是螺絲釘。

透過齒輪間隙可以看到熟悉的表盤數字，這是機械表的象征。

插圖后方則是噴著濃煙的廠房和煙囪，象征著第一次工業革命滾滾襲來。

機械表的發展歷程是工業革命的縮影，機械表的精密背后，離不開齒輪和擺輪游絲之間的精妙配合，而游絲里的時間秘密離不開胡克定律。

19

混沌理論?

Chaos theory

發現者? 洛倫茨

發現時間? 1963年

公式圖解

一只蝴蝶正跪坐在鯨魚上，從太平洋西岸游向東岸。

這只美麗蝴蝶扇動翅膀，右側亞馬遜大葉植物形成了一道道颶風。

正如中國古人所言：失之毫厘，謬以千里。

混沌，才是世界的本質。蝴蝶效應只是一種典型的混沌系統。

我們的世界是混沌而無序的，就如同我們難以用準確的幾何圖形描述云朵、山巒、海岸線的形狀，我們無法找到一種描述不規則世界的法則。

20

凱利公式?

The Kelly Criterion

發現者? 凱利

發現時間? 1956年

公式圖解

插畫的正中央是熟悉的撲克牌，牌中人物被替換成凱利。

撲克牌后是賭盤和骰子，骰子的一面鉆出來一個雙手抓著錢，雙目無神的人，另一面則畫著一個骷髏頭。意思很明顯——賭博，依靠運氣，將陷入深淵。

在撲克上置放著一條財富公式——凱利公式，這個公式價值萬億。賭博，不是運氣游戲，而是數學問題。但賭徒永遠學不到這一點，依舊會一頭扎進賭場之中。

凱利公式告訴我們，只要進了賭場，你就是一個賭鬼。而贏得勝利的唯一法則，只有一個——不賭。

21

貝葉斯定理?

Bayes' theorem

發現者? 貝葉斯

發現時間? 18世紀

公式圖解

未來世界，是由電子芯片和線路搭建成的賽博朋克風格城市。

一個人工智能機器人正站在一面鏡子前，一只手按在鏡子上，對著鏡中的自己產生了疑問：“我是誰？”

人工智能的發展離不開貝葉斯定理的支撐。盡管貝葉斯定理在最初時不被認可，但歷經兩百余年發展，幾乎成為AI世界的鐵律。

我們可能要問一下自己一個問題：

如果貝葉斯公式與A.I.真正結合，它是否會計算出自己是人還是機器，從而得出“我是誰”的答案？

22

三體問題?

The Three-body Problem

發現者? 希爾伯特

發現時間? 1900年

公式圖解

身披大紅長袍的牛頓踩在宇宙之中，三個球體在他身邊環繞運轉。

在虛空中，有各種已知的、未知的力以及其他因素的干擾，想要計算出這三個球體的運動方程的難度可想而知。

牛頓曾經以數學方式嚴格地解決了二體問題，但面對“三體”，即便是成為真正的巫師和煉金師，也恐怕是心有余而力不足。

我們也許可以思考，摧毀三體的光粒文明，之所以能擊中三體的一顆恒星，是因為他們解析出了三體運動嗎？

23

哥德爾不完備定理?

Godel's Incompleteness Theorem

發現者? 哥德爾

發現時間? 1931年

公式圖解

一名理發師正準備給人理發，可這名理發師卻聲稱，自己只為本城所有不給自己理發的人理發。那他是否要為自己理發呢？

插畫之外，一名男子對著畫作中正在理發的理發師舉起了刀，但實際上我們無法分辨出持刀男子是在畫中還是畫外，即男子的存在性在這個系統中無法證明為真，也不能被證明為偽。

這便是哥德爾不完備定理：即使是世間不證自明的公理，也是不完備的。

哥德爾不完備定理開辟了一條新的道路：面對一個不完備系統時，請跳出所在的系統；面對某個公理體系內無法判定的一個命題時，請尋找新的數學工具或科學實驗加以判定。

24

橢圓曲線方程?

Elliptic curve equation

發現者??懷爾斯

發現時間? 1995年

公式圖解

一艘幽靈船航行于大海中。

船長中本聰屹立于船頭，但不久后也會隱去。

幽靈船將以比特幣、以太坊、Libra為首的虛擬貨幣體系為動力，自動在大海中航行。

船只身后的傳統金融世界已然著火，只有新的數字貨幣體系才能存活。幽靈船的四周，漂浮著無數個“窺視之眼”，企圖窺探加密數字貨幣的秘密。

橢圓曲線方程在比特幣中扮演著關鍵角色，它是比特幣的基石。沒有橢圓曲線方程，就沒有比特幣的安全性。

比特幣也正是因為依靠橢圓曲線方程，才在NSA的后門陰謀中得以逃過一劫。

結

楊振寧：“公式之美”凝練如詩

1988年，楊振寧接受Bill Moyers采訪時談到：

詩歌是思想的凝練，公式是凝練的詩篇！

物理學公式的簡潔精確與詩歌有相似之處，短短幾行詩，就能寫出非常復雜的思想。

以牛頓、麥克斯韋、愛因斯坦為代表的物理學家，將物質結構和宏觀宇宙用幾個公式表示，將繁瑣無比的復雜現象轉化為幾個方程，簡單精確明了，具有極致的美感。

每一公式都是一副畫，每個公式也是一首詩。

英國大詩人W.Blake對于科學之美寫過一首詩：

一粒砂里有一個世界，

一朵花里有一個天堂。

把無窮無盡握于手掌，

永恒寧非是剎那時光。

（以上是翻譯的中文）

蘇東坡在《赤壁賦》中也寫到：

蓋將自其變者而觀之，天地曾不能以一瞬；自其不變者而觀之，物與我皆無盡。

雖然東坡先生沒有學過物理，但那些偉大的靈魂總有一致性。

這首詩透露著物理學意義：運動是絕對的，靜止是相對的；物質世界是絕對運動和相對靜止的統一。

人文與數學在畫面中相聚，“公式之美”攜手兩者前行。

這才是最高維度的審美！

《公式之美》量子學派編著，北京大學出版社